Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями часто кажется сложнее, чем есть на самом деле. На деле весь способ держится на одной идее: сначала нужно сделать знаменатели одинаковыми, а уже потом выполнять действие. Разберём это правило спокойно и по шагам.

Главное правило

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, приведите их к общему знаменателю. Затем сложите или вычтите числители, а знаменатель оставьте прежним. В конце сократите полученную дробь, если это возможно.

Почему нельзя сразу сложить числители и знаменатели

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Поэтому одна треть и одна четверть — это части разного размера. Складывать их сразу так же неудобно, как складывать один метр и один сантиметр, не переводя величины в одинаковые единицы.

13 + 14 ≠ 27

Сначала обе дроби нужно записать в одинаковых долях. Для одной трети и одной четверти подойдут двенадцатые доли.

13 = 412, 14 = 312

Алгоритм сложения и вычитания дробей

Посмотрите на знаменатели дробей.
Найдите общий знаменатель — число, которое делится на каждый из данных знаменателей.
Для каждой дроби найдите дополнительный множитель: общий знаменатель разделите на знаменатель этой дроби.
Умножьте на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель каждой дроби.
Сложите или вычтите получившиеся числители. Общий знаменатель не меняйте.
Проверьте, можно ли сократить результат. Если получилась неправильная дробь, при необходимости выделите целую часть.

Как найти общий знаменатель

Общим знаменателем может быть любое число, которое делится на оба знаменателя. Но часто удобнее брать наименьшее такое число — тогда вычисления будут короче, а числа меньше. Этот знаменатель называют наименьшим общим знаменателем. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей.

Знаменатели	Общий знаменатель	Почему
4 и 8	8	8 делится и на 4, и на 8
3 и 5	15	15 — первое число, которое делится и на 3, и на 5
6 и 8	24	24 — первое число, которое делится и на 6, и на 8
12 и 18	36	36 — первое число, которое делится и на 12, и на 18

Что такое дополнительный множитель

Дополнительный множитель показывает, во сколько раз нужно увеличить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель. Например, если общий знаменатель равен 24, а знаменатель дроби равен 6, дополнительный множитель равен 24 : 6 = 4. На 4 нужно умножить и знаменатель, и числитель.

Пример сложения дробей с разными знаменателями

Вычислим сумму одной четверти и одной шестой. Наименьшее число, которое делится на 4 и на 6, — это 12. Значит, общий знаменатель равен 12.

14 + 16 = 1 · 34 · 3 + 1 · 26 · 2 = 312 + 212 = 512

Для первой дроби дополнительный множитель равен 12 : 4 = 3. Для второй — 12 : 6 = 2. После приведения к общему знаменателю складываем только числители: 3 + 2 = 5.

Пример вычитания дробей с разными знаменателями

Теперь найдём разность семи десятых и одной шестой. Общий знаменатель для 10 и 6 равен 30.

710 − 16 = 7 · 310 · 3 − 1 · 56 · 5 = 2130 − 530 = 1630 = 815

После вычитания получилась дробь шестнадцать тридцатых. Числитель и знаменатель делятся на 2, поэтому сокращаем её и получаем восемь пятнадцатых.

Если один знаменатель делится на другой

В таком случае искать новый знаменатель не нужно. Достаточно взять больший из двух. Например, 8 делится на 4, поэтому для дробей со знаменателями 8 и 4 общим знаменателем будет 8. Преобразовать потребуется только одну дробь.

38 + 14 = 38 + 28 = 58

Если у знаменателей нет общих делителей

Если знаменатели не имеют общих делителей, кроме 1, их можно просто перемножить. Например, для знаменателей 5 и 3 общий знаменатель равен 5 · 3 = 15.

25 + 13 = 615 + 515 = 1115

Почему результат нужно сокращать

После сложения или вычитания может получиться сократимая дробь. Это правильный промежуточный результат, но решение ещё не закончено. Разделите числитель и знаменатель на их общий делитель.

68 = 6 : 28 : 2 = 34

Как работать с отрицательными дробями

Знак минус относится ко всей дроби. При приведении к общему знаменателю он сохраняется перед числителем. Дальше действуем по обычным правилам сложения положительных и отрицательных чисел.

−13 + 56 = −26 + 56 = 36 = 12

Частые ошибки

Ошибка	Как правильно
Складывают числители и знаменатели	Сначала приводим дроби к общему знаменателю, затем работаем только с числителями
Умножают только знаменатель	Числитель и знаменатель дроби умножаем на одно и то же число
Берут для обеих дробей одинаковый дополнительный множитель	Для каждой дроби дополнительный множитель находим отдельно
Меняют знаменатель после сложения	После приведения дробей общий знаменатель остаётся прежним
Не сокращают ответ	Проверяем, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель
Теряют знак минус	Переписываем знак на каждом шаге решения

Как проверить себя

Убедитесь, что перед сложением или вычитанием знаменатели стали одинаковыми.
Проверьте дополнительные множители: общий знаменатель должен делиться на каждый исходный знаменатель.
Посмотрите, умножили ли вы на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель.
Проверьте, сократили ли вы итоговую дробь.

Зачем это уметь для ОГЭ

Действия с обыкновенными дробями встречаются в задании №6 ОГЭ по математике. В экзаменационном примере может быть несколько действий, скобки, смешанные числа или отрицательные значения. Если приведение к общему знаменателю выполняется уверенно, длинное выражение уже не выглядит пугающим: его можно разделить на понятные шаги.

После изучения правила полезно потренироваться на заданиях экзаменационного формата.

Все правила действий с обыкновенными дробями собраны в статье «Обыкновенные дроби на ОГЭ». Другие материалы по теме можно найти на странице «Дроби».

Хотите уверенно решать задание №6 ОГЭ?

На курсе мы последовательно разбираем обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и степени, решаем задания экзаменационного формата и закрепляем тему домашней работой с видеоразбором.

Посмотреть курс по заданию №6

Задания для самостоятельной проверки

Решите каждый пример и введите ответ в поля числителя и знаменателя.

ЗАДАНИЕ 1

Вычислите: 13 + 16

Ваш ответ:

ЗАДАНИЕ 2

Вычислите: 58 − 14

Ваш ответ:

ЗАДАНИЕ 3

Вычислите: 29 + 512

Ваш ответ:

ЗАДАНИЕ 4

Вычислите: 710 − 16

Ваш ответ:

ЗАДАНИЕ 5

Вычислите: 56 + 715

Ваш ответ:

Частые вопросы

Обязательно ли искать наименьший общий знаменатель?

Нет. Подойдёт любой общий знаменатель. Но наименьший обычно удобнее: числа получаются меньше, а дробь реже приходится долго сокращать.

Можно ли просто перемножить знаменатели для нахождения общего знаменателя?

Да, произведение знаменателей всегда будет общим знаменателем.

Почему нужно умножать не только знаменатель, но и числитель?

Если умножить только знаменатель, значение дроби изменится. Когда числитель и знаменатель умножаются на одно и то же ненулевое число, получается равная дробь.

Что делать, если знаменатели уже одинаковые?

Сразу сложите или вычтите числители, а знаменатель оставьте прежним. После этого проверьте, можно ли сократить результат.

Нужно ли сокращать дробь в ответе?

Да. Итоговый ответ принято записывать в наиболее простом виде. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь нужно сократить.

Главное — не пытаться выполнять все действия мысленно. Записывайте общий знаменатель, дополнительные множители и каждый этап преобразования. Через несколько решённых примеров алгоритм станет привычным, а ошибок будет заметно меньше.