Выбрать курс

Разбор темы

Степени и корни на ОГЭ: свойства и примеры для задания №8

Основные свойства степеней и квадратных корней, алгоритмы и примеры задания №8 ОГЭ по математике.

Задание №8 5 мин чтения

Тема «степени и корни на ОГЭ» — одна из обязательных и самых предсказуемых на экзамене по математике. Задание №8 включает преобразования выражений со степенями и квадратными корнями.

Несмотря на базовый уровень сложности, именно здесь ученики часто теряют балл из-за невнимательности или непонимания свойств. Важно не просто выучить формулы, а разобраться в их смысле и отработать типовые задачи.

Какие задания со степенями и корнями встречаются на ОГЭ

В задании №8 проверяется умение:

  • применять свойства степеней;
  • работать с отрицательными показателями;
  • работать с нулевыми показателями;
  • упрощать выражения;
  • извлекать квадратные корни и применять их свойства;
  • выполнять вычисления без калькулятора;
  • сравнивать степени с одинаковым основанием.

Основные свойства степеней

Эти формулы нужно знать и уметь применять в несколько действий:

1.aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2.aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0
3.(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
4.a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a ≠ 0

Важно

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются. Само основание при этом не меняется.

Основные свойства квадратного корня

Эти свойства помогают упрощать выражения с квадратными корнями и проверять промежуточные действия:

1.(√a)² = a, a ≥ 0
2.√(ab) = √a · √b, a ≥ 0, b ≥ 0
3.√(a/b) = √a/√b, a ≥ 0, b > 0
4.√(a²) = |a|

Важно

Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.

Если под корнем находится дробь, её знаменатель не должен быть равен нулю.

Корни на ОГЭ

В задачах с квадратными корнями необходимо уметь:

  • извлекать квадратный корень;
  • выносить множитель из-под корня;
  • вносить положительный множитель под знак корня;
  • упрощать выражения;
  • правильно применять свойства корней;

Типовой пример: задание №8 на ОГЭ

Найдите значение выражения:

(3⁴ · 3³)/3⁵

Сначала складываем показатели степеней в числителе:

3⁴⁺³ = 3⁷

Затем делим степени с одинаковым основанием:

3⁷⁻⁵ = 3² = 9

Ответ: 9. Если свойства степеней хорошо знакомы, такое задание занимает меньше минуты.

Как научиться решать степени и корни на ОГЭ

Для уверенного решения задания №8 необходимо:

  • системно разобрать свойства степеней;
  • понять логику работы с корнями;
  • отработать 30–50 типовых задач;
  • разобрать сложные случаи;
  • научиться выполнять вычисления без калькулятора.

Простого чтения теории недостаточно: формулы запоминаются надёжно только во время практики.

Почему важно разобраться в этой теме

Степени и корни дают возможность получить предсказуемый балл. Здесь всё строится на чётких формулах и последовательных преобразованиях.

  • меньше случайных ошибок;
  • больше времени на сложные задания;
  • уверенность во время экзамена.

Разберём пример с квадратным корнем

Найдите значение выражения:

√(25x¹⁴/x¹²) при x = 4

Шаг 1. Сократим степени с одинаковым основанием под корнем:

√(25x¹⁴⁻¹²) = √(25x²)

Шаг 2. Для x > 0 выполняется равенство √(x²) = x. Так как x = 4 > 0, получаем:

√(25x²) = 5x

Шаг 3. Подставим x = 4:

5 · 4 = 20

Ответ: 20.

Алгоритм решения задания №8

  1. Определите, какие свойства степеней или корней понадобятся.
  2. Упростите выражение и только после этого подставляйте значения переменных.
  3. Проверьте ограничения: знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение неотрицательно.
  4. Выполните вычисления и проверьте знак полученного ответа.

Что важно помнить

Важно

Отрицательный показатель степени означает переход к обратному числу, а не отрицательный результат.

Важно

Квадратный корень не может иметь отрицательное подкоренное выражение.

Важно

Сумму √a + √b нельзя заменять выражением √(a + b).
Разность √a − √b нельзя заменять выражением √(a − b).

Примеры заданий со степенями и корнями

Ниже собраны примеры со степенями, корнями и комбинированными выражениями:

Найдите значение выраженияa¹⁵ · a⁻⁴ / a⁹ при a = 5
Найдите значение выражения(a⁴)⁻⁵ / a⁻¹⁹ при a = 8
Найдите значение выраженияa²³ · (b⁵)⁴ / (a · b)²⁰ при a = 2, b = 7
Найдите значение выражения(2 · 5)⁴ / (2³ · 5²)
Найдите значение выражения10⁵ / (2³ · 5⁴)
Найдите значение выражения√18 · √8 / √16
Найдите значение выражения√(1/16 · x⁶y⁴) при x = 2, y = 3
Найдите значение выражения√(49a¹⁸/a¹⁶) при a = 6
Найдите значение выражения18√a · 5√b / 15√(ab) при a = 8, b = 5
Найдите значение выражения(√5 − √17)(√5 + √17)

Хотите уверенно решать задание №8 ОГЭ?

На курсе подробно разберём степени и корни, типовые задания и частые ошибки, а затем закрепим тему на практике.

Перейти к курсу по заданию №8

Частые вопросы

Когда показатели степеней складываются?

Показатели складываются при умножении степеней с одинаковым основанием.

Когда показатели вычитаются?

Показатели вычитаются при делении степеней с одинаковым основанием.

Чему равна степень с нулевым показателем?

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Как оценить корень, который не извлекается нацело?

Найдите ближайшие полные квадраты. Например, 25 < 27 < 36, поэтому, извлекая корень, получим 5 < √27 < 6.

Что делать с отрицательной степенью?

Отрицательный показатель степени означает, что нужно перейти к обратному числу: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, при a ≠ 0.

Что происходит, если степень возводят в степень?

Показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Можно ли складывать числа под разными корнями?

Нет. Например, √a + √b нельзя заменить на √(a + b).

Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

В действительных числах — нет. Поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Нужно ли сначала подставлять значение переменной или упрощать выражение?

Обычно удобнее сначала применить свойства степеней и корней, упростить выражение и только потом подставить значение переменной.

Можно ли пользоваться калькулятором в задании №8 ОГЭ?

Нет, поэтому важно уметь работать со степенями и корнями без калькулятора.