Обыкновенные дроби на ОГЭ: правила и примеры

Обыкновенные дроби часто встречаются в задании №6 ОГЭ и в вычислениях из других заданий. В этой статье собраны правила, короткие алгоритмы, типичные ошибки и практика, чтобы можно было не просто повторить тему, а сразу проверить себя. Общий обзор задания №6 находится на странице «Дроби на ОГЭ».

Если нужно повторить числа с запятой, откройте отдельный материал: десятичные дроби на ОГЭ по математике.

Коротко: что нужно уметь на ОГЭ

Сокращать дроби, находить общий знаменатель, складывать и вычитать дроби, умножать и делить их, переводить смешанные числа в неправильные дроби и обратно.
В конце статьи есть 8 заданий с проверкой ответа прямо на странице.

Что такое обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь показывает одну или несколько равных частей целого. Например, $\dfrac{2}{5}$ означает, что целое разделили на $5$ равных частей и взяли $2$ из них.

Запись $\dfrac{m}{n}$ состоит из числителя и знаменателя. Числитель показывает, сколько частей взяли, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Знаменатель не может быть равен нулю.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Именно на этом основаны приведение к общему знаменателю и сокращение дробей.

\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{6}{10}

Полезная информация

Можно менять вид дроби, не меняя её значение. Главное — выполнять одно и то же действие (умножение или деление на одно и то же число) и с числителем, и со знаменателем.

Какие бывают дроби

Правильная дробь: числитель меньше знаменателя. Например, $\dfrac{4}{7}$ .
Неправильная дробь: числитель больше знаменателя или равен ему. Например, $\dfrac{9}{5}$ или $\dfrac{7}{7}$ .
Смешанное число: есть целая и дробная части. Например, $2\dfrac{1}{3}$ .

Почему дроби важны для ОГЭ

В задании №6 нужно выполнять вычисления с числами, и задачи с обыкновенными дробями наиболее часто встречаются в этом задании. Кроме того, дроби встречаются в уравнениях, формулах, задачах на вероятность, геометрии и других темах.

Поэтому выгоднее не запоминать отдельные примеры, а уверенно владеть несколькими базовыми правилами. Тогда длинное выражение можно разбить на понятные шаги.

Как сравнивать дроби

Способ сравнения зависит от того, что совпадает у дробей.

Если знаменатели одинаковые, больше та дробь, у которой больше числитель: $\dfrac{5}{9}>\dfrac{2}{9}$ .
Если числители одинаковые и дроби положительные, больше та дробь, у которой меньше знаменатель: $\dfrac{3}{5}>\dfrac{3}{8}$ .
Если различаются и числители, и знаменатели, удобно привести дроби к общему знаменателю.

Как быстро найти общий знаменатель

Для сложения и вычитания дробей нужен общий знаменатель. Это такое число, которое делится на все исходные знаменатели. Часто удобно брать наименьшее общее кратное знаменателей — тогда числа обычно получаются меньше.

Если один знаменатель делится на другой, удобно взять больший. Для дробей $\dfrac{1}{4}$ и $\dfrac{3}{8}$ общий знаменатель — $8$ .
Если знаменатели $6$ и $4$ , наименьший общий знаменатель — $12$ .
После выбора общего знаменателя найдите дополнительный множитель для каждой дроби и умножьте на него и числитель, и знаменатель.

\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{5}{12}

Быстрый ориентир

Не обязательно каждый раз искать именно наименьший общий знаменатель. Если наименьший общий знаменатель трудно найти, то в качестве общего знаменателя всегда можно взять произведение двух исходных знаменателей.

Основные действия с дробями

Сложение и вычитание

Если знаменатели одинаковые, выполняйте действие только с числителями, а знаменатель оставляйте прежним.

\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}

Если знаменатели разные, сначала приведите дроби к общему знаменателю.

\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{16}{24}+\dfrac{15}{24}=\dfrac{31}{24}=1\dfrac{7}{24}

Подробные правила и дополнительные примеры собраны в статье «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Типичная ошибка

Нельзя складывать или вычитать знаменатели: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\ne\dfrac{2}{7}$ .
Для сложения/вычитания дробей необходимо обязательно привести дроби к общему знаменателю.

Умножение

При умножении перемножьте отдельно числители и отдельно знаменатели. Также можно выполнить сокращение дробей — так вычисления становятся проще.

\dfrac{9}{14}\cdot\dfrac{7}{15}=\dfrac{9\cdot7}{14\cdot15}=\dfrac{3\cdot1}{2\cdot5}=\dfrac{3}{10}

Полезный приём

При умножении можно сокращать множители «крест-накрест»: числитель одной дроби со знаменателем другой. Это уменьшает числа ещё до умножения.

Деление

Чтобы разделить на дробь, нужно:

знак деления заменить на знак умножения
вторую дробь перевернуть (поменять у нее числитель и знаменатель местами)

\dfrac{5}{12}:\dfrac{25}{18}=\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{18}{25}=\dfrac{3}{10}

Проверка правила

При делении меняется только вторая дробь: ее числитель и знаменатель меняются местами.
Первая дробь не изменяется.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, разделите числитель и знаменатель на общий делитель.

\dfrac{42}{56}=\dfrac{42:14}{56:14}=\dfrac{3}{4}

Неправильные дроби и смешанные числа

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, разделите числитель на знаменатель. Частное станет целой частью, а остаток — числителем дробной части.

\dfrac{17}{5}=3\dfrac{2}{5}

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, воспользуйтесь вот такой формулой:

a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\cdot c+b}{c}

2\dfrac{3}{7}=\dfrac{2\cdot7+3}{7}=\dfrac{17}{7}

Порядок действий в выражениях с дробями

В выражениях с дробями действует обычный порядок действий: сначала скобки, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняются слева направо.

\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}

Перед длинным примером

Если в выражении есть смешанные числа, обычно удобнее сначала перевести их в неправильные дроби. Затем посмотрите, где можно сократить числа до умножения.

Типичные ошибки на ОГЭ

Складывать знаменатели. При сложении и вычитании знаменатель должен быть общим.
Переворачивать обе дроби при делении. Обратной становится только вторая дробь.
Забывать про сокращение. Большие числа повышают риск арифметической ошибки.
Сразу выполнять действия со смешанными числами. Часто безопаснее сначала перевести их в неправильные дроби.
Нарушать порядок действий. Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, если нет скобок.
Терять знак. В примерах с отрицательными числами отдельно контролируйте знак результата.

Как быстро проверить ответ

Оцените результат приблизительно. Если складывались две положительные дроби меньше 1, ответ не должен внезапно получиться очень большим.
Проверьте, можно ли ещё сократить дробь.
При делении мысленно оцените: если делим положительное число на число меньше 1, результат должен увеличиться.
Для смешанного числа проверьте, что дробная часть правильная, то есть её числитель меньше знаменателя.

Мини-шпаргалка

Сложение и вычитание: общий знаменатель → действие с числителями
Умножение: числитель · числитель, знаменатель · знаменатель
Деление: вторую дробь перевернуть и заменить : на ·
Сокращение: числитель и знаменатель делим на один общий делитель
Смешанное число: перед сложными вычислениями удобно переводить в неправильную дробь

8 заданий для тренировки

Попробуйте свои силы 😉
Решите задачи и введите итоговые ответы в поля под примерами.

Вычислите:

\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{4}

Ваш ответ:

Вычислите:

\dfrac{9}{14}\cdot\dfrac{7}{15}

Ваш ответ:

Вычислите:

\dfrac{3}{4}:\dfrac{5}{8}

Ваш ответ:

Вычислите:

1\dfrac{1}{2}+2\dfrac{3}{4}

Ваш ответ:

Вычислите:

\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{3}

Ваш ответ:

Вычислите:

\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{10}\right)\cdot\dfrac{3}{2}

Ваш ответ:

Вычислите:

\left(\dfrac{3}{4}:\dfrac{5}{8}\right)-\dfrac{1}{5}

Ваш ответ:

Вычислите:

\left(\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{10}\right):\dfrac{7}{10}

Ваш ответ:

Дроби всё ещё вызывают ошибки?

На курсе Teoremum по заданию №6 правила разбираются пошагово, а затем закрепляются на заданиях экзаменационного формата. Это удобно, если хочется не просто повторить формулы, а довести вычисления до уверенного навыка.

Перейти к курсу по заданию №6

Частые вопросы

Нужно ли всегда искать наименьший общий знаменатель?

Нет, подойдёт любой общий знаменатель. Но наименьший обычно делает вычисления короче.

Можно ли сокращать дроби до умножения?

Да. Это полезный приём: после сокращения приходится перемножать меньшие числа.

Как понять, что дробь сокращена полностью?

У числителя и знаменателя не должно оставаться общего делителя (кроме 1).

Какую дробь нужно переворачивать при делении?

Только вторую дробь — ту, на которую делим. Первую дробь оставляем без изменений.

Зачем переводить смешанные числа в неправильные дроби?

Так проще выполнять умножение, деление и многие выражения в несколько действий.

Что повторить перед экзаменом

основное свойство дроби и сокращение;
поиск общего знаменателя;
четыре арифметических действия с дробями (сложение, вычитание, умножение и деление);
перевод смешанных чисел и неправильных дробей;
порядок действий в выражениях.

Если на каждом из этих шагов вы понимаете не только правило, но и можете решить несколько примеров без подсказки, тема обыкновенных дробей уже не должна быть проблемной на ОГЭ.